lunes, 29 de noviembre de 2010

Matemáticas y criptografía


El telegrama Zimmermann
La Primera Guerra Mundial, conocida como La Gran Guerra, fue un conflicto bélico que se desarrolló desde 1914 a 1918 y que involucró a más de 30 países. El detonante que provocó el estallido de la misma fue el asesinato del archiduque Francisco Fernando de Austria y su esposa a manos de un estudiante serbio. A raíz de ello Austria declaró la guerra a Serbia, dando comienzo a la guerra.

Poco a poco fueron uniéndose más países al conflicto: el Imperio Ruso se unió a Serbia, Alemania apoyó a Austria, y la lista fue creciendo hasta llegar, como decíamos, a más de 30 países implicados. En 1918 la guerra concluyó con victoria del bando aliado (Serbia junto con todos los países que la apoyaron) sobre las potencias centrales (Austria junto a Alemania y sus apoyos).
Lo que vamos a contar en los siguientes párrafos es una de esas muchas pequeñas historias que hay en este tipo de conflictos. Nos situamos a finales de 1916, en plena guerra, con Estados Unidos todavía al margen. Bueno, en realidad no del todo, ya que dos años antes un submarino alemán había torpedeado el barco de pasajeros Lusitania (con bandera británica, esto es, del bando aliado), en el cual viajaban más de 100 civiles estadounidenses. Este hecho que había motivado que Estados Unidos diera un aviso a Alemania, amenazando con entrar en la guerra apoyando a los aliados. Pero bueno, Estados Unidos todavía permanecía, al menos oficialmente, fuera del conflicto.
Estábamos a finales de 1916. En noviembre de ese año Arthur Zimmermann es nombrado Ministro de Asuntos Exteriores alemán. más tarde, concretamente en enero de 1917, Zimmermann envía un telegrama cifrado al embajador alemán en Washington, Johann von Bernstorff, para que éste lo envie al embajador alemán en México, Heinrich von Eckardt. El texto de dicho telegrama, el conocido como telegrama Zimmermann, era el siguiente:

Nos proponemos comenzar el primero de febrero la guerra submarina, sin restricción. No obstante, intentaremos mantener la neutralidad de los Estados Unidos de América.
En caso de no tener éxito, proponemos a México una alianza sobre las siguientes bases: hacer juntos la guerra, declarar juntos la paz. Aportaremos abundante ayuda financiera; y el entendimiento por nuestra parte de que México ha de reconquistar el territorio perdido de Nuevo México, Texas y Arizona. Los detalles del acuerdo quedan a su discreción (de von Eckardt).
Queda usted encargado de informar al presidente (de México) de todo lo antedicho, de la forma más confidencial posible, tan pronto como el estallido de la guerra con los Estados Unidos de América sea un hecho seguro. Debe además sugerirle que tome la iniciativa de invitar a Japón a adherirse de forma inmediata a este plan, ofreciéndose al mismo tiempo como mediador entre Japón y nosotros.
Haga notar al presidente que el uso despiadado de nuestros submarinos ya hace previsible que Inglaterra se vea obligada a pedir la paz en los próximos meses.

Bien, vamos a explicar un poco el tema. Alemania, evidentemente, no quería que Estados Unidos entrara en la guerra, pero en cierto modo veía bastante probable que así ocurriera. Por tanto buscaban un aliado geográficamente cercano a Estados Unidos que pudiera anular dicha posibilidad. Por ello intentaban negociar con México para que, en el caso de que al final se produjera la entrada de los estadounidenses, ellos (México) amenazaran la frontera con Estados Unidos. Esto podría suponer que Estados Unidos dedicara más esfuerzos al posible conflicto que se podría producir en sus propias fronteras, evitando así su entrada en La Gran Guerra.
Para todo ello era fundamental que pasara un tiempo para que México se organizara lo suficiente. Por ello era indispensable que el contenido del telegrama permaneciera en secreto.
El porqué de la vital influencia de la criptografía en el devenir de La Gran Guerra
Llegó el momento de las matemáticas. Bueno, en realidad de la criptografía, campo, como ya sabemos, relacionado con la aritmética modular y la teoría de números. Vamos, matemáticas.
Inglaterra, del bando aliado, tenía controlados los cables submarinos que conectaban Alemania con el continente americano, por lo que todo mensaje que pasaba por ellos podía ser interceptado por los ingleses. Por otra parte, Estados Unidos había dado cierto apoyo a Alemania para que enviara mensajes bajo su protección (por ello el mensaje se envió a Washington). El caso es que Inglaterra interceptó el mensaje y lo mando a su departamento de criptoanálisis, conocido como Habitación 40.
Utilizando la información de que disponían sobre los métodos de encriptación utilizados por los alemanes, los expertos de la Habitación 40 consiguieron desencriptar el telegrama Zimmermann, cuyo contenido comunicaron a Estados Unidos. A finales de febrero de 1917 éstos filtran el mensaje a la prensa, a mediados de marzo el propio Zimmermann reconoce la veracidad del texto y se declara autor del mismo y dos semanas más tarde, antes de la ofensiva alemana, Estados Unidos entra en el conflicto en el bando aliado. Algo más de un año después La Gran Guerra concluye con derrota del bando austriaco-alemán.
Por todo esto la actuación de los criptoanalistas británicos fue crucial. Si Inglaterra no hubiese interceptado el mensaje esta historia tampoco se habría producido, pero aun habiendo accedido al mensaje cifrado la clave fue la pericia de estos expertos en criptografía. Si el telegrama Zimmermann no hubiese sido desencriptado, Estados Unidos no habría sabido de las intenciones alemanas. Entonces, aunque México no hubiese entrado en el juego, la ofensiva submarina alemana posiblemente hubiera debilitado lo suficiente a Inglaterra como para que la Primera Guerra Mundial terminara con victoria de las potencias centrales antes de que los estadounidenses tuvieran tiempo para responder, por lo que seguro que a partir de ahí la historia de la humanidad hubiese sido muy distinta…

Si quieres saber más sobre el tema:
■Matemáticos, espías y piratas informáticos, de Joan Gómez (Colección El mundo es matemático de RBA).
Primera Guerra Mundial en la Wikipedia española.

jueves, 25 de noviembre de 2010

Polinomios

Aquí os pongo un enlace para que trabajeis operaciones sencillas con polinomios:
  • Suma y diferencia de polinomios
  • Producto de polinomios
  • Identidades notables

lunes, 4 de octubre de 2010

Grisha por los puentes de Königsberg

Este artículo de Javier Sampedro se publicó ayer en El País Domingo, explica de forma genial qué es la Topología.

La topología, la especialidad de Perelman, tiene el más encantador de los orígenes. La ciudad de Königsberg, la actual Kaliningrado rusa, tenía siete puentes para salvar el complicado trazado del río Pregel. Cinco puentes daban a una isla interior y los otros dos cruzaban los brazos del río por otros sitios. La gente se preguntaba si sería posible cruzar la ciudad pasando solo una vez por cada puente. Y fue el gran matemático suizo Leonard Euler quien halló la respuesta. Si llegas a la isla por un puente, se dijo Euler, tienes que salir por otro, luego la isla tiene que tener dos puentes, o cualquier otro número par. Como tenía cinco, la respuesta era no. Lo importante fue el atajo que usó Euler. Se desentendió del mapa real de Kaliningrado casi por completo y solo se quedó con un gráfico minimalista que podría servir para otras muchas ciudades, reales o imaginarias. Prefiguró así la topología, una geometría de las cualidades.

La topología se ocupa de las propiedades de un objeto que permanecen por mucho que se le deforme (sin romperlo ni abrirle agujeros). Como la A se puede deformar hasta una R, ambas letras son equivalentes para la topología. No así la B (con dos agujeros) ni la M (sin ninguno).

Un cubo tiene 6 caras, 8 vértices y 12 aristas. La operación 6+8-12 nos da la característica de Euler del cubo, que es 2. Un octaedro tiene 8 caras, 6 vértices y 12 aristas, lo que nos da una característica de 8+6-12 = 2 otra vez. Sigamos subiendo el número de caras. El dodecaedro da 12+20-30 = 2. El icosaedro da 20+12-30 = 2. Por más que aumentemos el número de caras, la característica sigue siendo 2, y esto vale también para el poliedro de infinitas caras, que es la esfera. Todos estos objetos son intercambiables para la topología: se pueden deformar unos en otros.

Como pasaba con las letras, sin embargo, los objetos con un agujero tienen una característica distinta (0). Da igual que sea una casa de vecinos con su patio, un donut (toro, en la jerga) o una taza de café: todos tienen característica 0 y son equivalentes para la topología, pero en un grupo separado de la esfera y sus acólitos. Unas gafas sin cristales representan otra clase más, con dos agujeros, como un doble toro (dos donut siameses), con característica -2.

Fue otro gran matemático, el francés Henri Poincaré, quien desarrolló sistemáticamente los fundamentos de la topología a principios del siglo XX. Su éxito fue espectacular, pero se dejó pendiente un problema grave. No logró extender del todo los anteriores principios a un mundo de cuatro dimensiones.

En nuestro mundo de tres dimensiones, los objetos sin agujeros, por muy distintos que sean, se pueden reconocer por una propiedad llamada conectividad simple. Significa que si les atas una goma elástica alrededor, siempre puedes recuperar la goma sin desatarla, solo corriéndola. Esto no pasa con un donut. Y Poincaré no pudo demostrar que lo mismo vale en un mundo de cuatro dimensiones (donde la esfera no se puede imaginar, pero sí analizar matemáticamente). Supuso que sí, y esa suposición pasó a llamarse conjetura de Poincaré. Hicieron falta cien años para que Grisha Perelman lograra demostrarla, convirtiéndola en un teorema.

Perelman no solo ha resuelto un problema que se les había resistido a los mejores matemáticos del mundo durante 100 años, sino que para hacerlo ha desarrollado unas herramientas que abren un nuevo continente a la investigación matemática. No olvidemos que, según la relatividad de Einstein, vivimos en un espaciotiempo de cuatro dimensiones. La más abstracta de las disciplinas matemáticas es ahora capaz de descubrir la forma de nuestro universo. Y ha salido gratis.

lunes, 28 de junio de 2010

Bienvenidos al blog de mates del cole

Bienvenidos al blog de matemáticas de Raquel Lorenzo. En él encontrareis noticias interesantes e información ampliada de lo que estudiamos en clase. Espero que os guste y os sirva de ayuda.

jueves, 10 de junio de 2010